Problema 12 de 2010 - As palavras, os detalhes

Como estamos a chegar ao fim do 1º período, resolvemos continuar a pensar na matemática como uma ciência que ajuda a pensar. Sem números, tens que estar atento aos detalhes.

Será que consegues resolver?

" Um polícia estava sentado na sua mota, num sinal vermelho, quando dois adolescentes passaram por ele numa moto a cem quilómetros hora. Ele não os perseguiu nem os tentou prender. Porquê?"

"Um homem estava à deriva num bote no meio do oceano. Verificou, horrorizado, que o bote metia água. Começou, deligentemente, a esvaziar a água. Ao fim de dois dias, deixou de se preocupar em esvaziar a água. Porquê?"

Problema 11 de 2010 - A Arca

Quantos animais de cada espécie levou moisés para a sua arca?

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Desta vez tinhamos que estar com atenção ao texto... Que tinha uma pequena rasteira - a Arca não é de Moisés, mas de Noé... Pois é, pois é...

Resolver Problemas é pensar e estar atento aos detalhes...

Problema 10 de 2010 - o teste do Pedro

Estou cada vez mais convencido que esta história do Martim Manhã é mesmo verdade. Não é que ele agora conseguiu a ajuda do Pedro para nos trazer mais um problema?

O Pedro diz que é um verdadeiro teste ao vosso Q.I. - preparem-se:

Se

2 + 3 = 10

7 + 2 = 63

8 + 4 = 96

Qual é o resultado de 9 + 7?

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Olhando para a primeira proposta podemos ver que a + b = 10 porque a * (a+b).

Assim, 7 + 2 = 7 * (7+2) = 7 * 9 = 63...

Logo, 9 + 7 = 9 * (9+7) = 9 * 16 = 144

Bons problemas,

JP

7+2=63 6+3=9
9+7=63+7=70

Problema 9 de 2010 - a dúzia da Beatriz Carvalho

O Martim Manhã anda muito bem relacionado. Ao que parece, desta vez pediu ajuda à Beatriz Carvalho. Pelo menos foi o que eu soube... Verdade ou não...

Dizia a Beatriz na resposta ao último problema:

"Quero 3 números iguais sem ser o 4 para dar 12 pense bem olhe que é muito difícil amanhã pode dizer a resposta que acha ao meu problema e se quiser pode até por no site."

Ora aqui está! Sigo a sugestão da Beatriz e este é o problema desta semana.

Já temos algumas respostas, que, por agora vamos continuar a esconder...

Será que há mais do que uma resposta a este problema? Com outras operações?

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A escrita da Beatriz não foi a melhor, mas nem por isso deixaram de encontrar a resposta com alguma facilidade... Até nem era complicado, pois não?

11 + 1 = 12!

Problema 8 de 2010 - Números primos

Desta vez o Martim Manhã pediu ajuda ao Bart Simpson. Sim, porque eles são primos.

Não sabias? Eu também não, mas isso também não importa agora.

Por falar em Primos, lembras-te dos números primos que falamos na aula?

Pois bem, o Bart tem um problema para resolver.

Ele tem 4 números primos consecutivos (seguidos). Multiplicou esses quatro números e obteve um número que termina em zero.

Qual é esse resultado? Quais são os 4 números primos?

Ajuda 1: eu não começaria pelos números primos grandes.

Ajuda 2: o resultado final tem três algarismos

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Jogo dos tiros aos primos: http://www.1729.com/math/integers/PrimeShooter.html

Jogo "Adivinha se é primo": http://www.basic-mathematics.com/prime-number-game.html

E qual é o maior número primo que consegues escrever? http://www.murderousmaths.co.uk/games/primcal.htm

Problema 7 de 2010 - Par ou ímpar

O Martim continua às voltas com a matemática. Agora tem um desafio bem simples: encontrar 4 números ímpares, quaisquer que somados totalizem 19.

Será que o consegues ajudar?

Problema 6 de 2010 - fósforos e triângulos

Antes de avançar com o problema da semana, visita estes sites... Foi por aqui que o Martim Manhã passou quando descobriu que afinal gostava de matemática.

Ficarás a conhecer o outro lado da matemática:

- Mat - magia: adivinhar a idade: http://matematica2.no.sapo.pt/adividade.htm

- São 12 ou 13 pessoas? http://matematica.no.sapo.pt/contarpessoas.html

Agora o problema da semana:

O Martim continua metido em trapalhadas. Desta vez tem que usar fósforos para descobrir um enigma.

Ele começou a construir triângulos com fósforos... Será que ele vai conseguir descobrir quantos fósforos precisa para construir o triângulo nº 4? E o nº 10... e o nº30?

Dica: no 1º usou 3, no 2º usou 9, no 3º usou 27... Se calhar nas aulas de matemática terás ouvido falar disto..

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Como quase sempre a resolução é uma meta com muitos caminhos... As aulas de matemática ajudaram a encontrar um.

No 1º triângulo tinha 3 fósforos que pode ser escrito "3 elevado a 1" ou 3^1 (nos computadores usamos o símbolo ^ entre dois números - o primeiro é a base e o segundo o expoente).

Voltando aos triângulos,

- 1º: 3^1 = 3

- 2º: 3^2= 3 x 3 = 9

- 3º: 3^3= 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27

Logo, no

4º: 3 ^4= 3 x 3 x 3 x 3 = 9 x 9 = 81...

E a resposta para o 30º triângulo é dada por 3 ^30. Queres experimentar resolver isto?

Então usa esta calculadora e a tecla yx (por baixo da tecla verde)

http://www.calculator.com/calcs/calc_sci.html

Problema 5 de 2010 - patas e animais

O Martin é um fã da natureza.

Foi com os amigos Gonzo e Juliana capturar animais na floresta porque o Martim acordou como Cientista e quer impressionar o Pinta-Gomes.

Encontraram formigas e aranhas que trouxeram para casa.

Trouxeram para casa 64 patas, sendo que trouxeram mais aranhas que insectos.

Será que nos consegues dizer quantas formigas e quantas aranhas eles trouxeram?

(Aranhas e formigas não têm o mesmo número de patas)

Mas, quando chegaram à escola tinham um novo desafio do Pinta-Gomes: "Um copo cheio de água pesa 325 gramas. Se deitarmos fora metade da água, o peso diminui para 180 gramas. Quanto pesa o copo? Este é o número que o Martim tem de encontrar para resolver mais uma dificuldade. Será que consegues descobrir o número?

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No primeiro desafio, o Martim tinha que considerar um número de patas diferente entre as aranhas (8) e as formigas (6). Depois era só ir somando aranhas e formigas, aranhas e formigas... Fazer uma tabela, um esquema... Para chegar até 5 aranhas x 8 patas = 40 patas e 6 formigas x 4 patas = 24 patas... 40 + 24 = 64

Isso mesmo, eles levaram 5 aranhas e 6 formigas.

No segundo desafio, tinhamos que começar por subtrair... 325 (água + copo) - 180 gr (metade da água + copo) = 145 gr (metade da água).

Se o copo com a água que ficou pesa 180 e só a água pesa 145, então o copo pesa 180-145 = 35 gramas.

Desta vez houve vários alunos a acertar: Beatriz, Pedro, Carolina... Estamos no bom caminho.

Problema 4 de 2010 - Quadrados mágicos

Indica os números que completam este quadrado mágico, junto a cada uma das respectivas letras.

a:

b:

c:

d:

e:

f:

g:

h:

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Para saberes mais sobre os quadrados mágicos:

- Jogo: http://www.profcardy.com/matematica/magico/3x3.htm

- Jogo II: http://nautilus.fis.uc.pt/mn/quadrado/index.html

- Na wikipedia: http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m%C3%A1gico

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Hoje, além da publicação das respostas enviadas através do Blog, vamos também mostrar o trabalho de uma aluna do 5ºJ que preferiu entregar em papela a sua proposta de resolução.

Dicas para resolver problemas

Resolver problemas é algo muito importante porque em todos os momentos da tua vida vais ter que o fazer... E, resolver BEM problemas é algo que podes aprender com algum trabalho.

Antes de começares faz duas coisas:

- Liga o teu cérebro: vais precisar dele.

- Coloca os óculos da matemática - com eles vais conseguir ver melhor tudo o que verdadeiramente importa no problema.

Estás pronto?

Vamos começar:

1º Lê o problema com toda a atenção. Há algo que não percebas? Alguma palavra?

Tenta agora fazer um esquema na tua cabeça sobre o tipo de problema que tens pela frente:

- "Já fiz um como este"... "Já sei, é só fazer uma conta de somar"... "Tenho que fazer um esquema"... "Tenho que desenhar"...

2º Retira os dados (matemáticos). Olha bem para o problema e tenta retirar toda a informação matemática que lá está.

Toma atenção a estas palavras:

- Somar ou adicionar, receber ou ganhar... então é "uma conta de mais";

- Subtrair, ficar sem, perder, gastar... então a "conta é de menos";

- multiplicar, produto... isso mesmo... "tens que fazer uma conta de vezes!"

- dividir, repartir, o quociente... nem mais - é de dividir. Estás no bom caminho.

Divide a tua folha em três colunas. Na coluna do lado esquerdo coloca esses dados.

3º Pensa numa estratégia e começa a resolver o teu problema. Antes de avançares cada um dos passos tenta verificar se vais no caminho certo.

Indica o que vais fazendo no meio do caderno e faz os cálculos auxiliares na coluna do lado direito.

Se conseguires ter o teu trabalho bem organizado, vai ser mais fácil.

4º Tens um resultado? É altura de verificar se é a resposta correcta ao teu problema. Verifica. se tiveres dúvidas, tenta resolver de outro modo, começa tudo outra vez... Lembra-te que há problemas com muitas soluções.

Um exemplo:

"Pensei num número. Multipliquei-o por 2 e ao produto adicionei 8, obtendo 20. Em que número pensei?"

Ora... vamos lá colocar os óculos da matemática:

- pensei num número: não sei qual é - ?

- Multipliquei-o por 2. Logo posso escrever ? x 2

- Ao produto. O que é o produto? O resultado da multiplicação.

- Adicionei 8: ? x 2 =___ + 8 =

- Obtive 20= ? x 2 = ___ + 8 = 20

Temos os dados organizados, vamos começar a pensar numa estratégia. E a resolver.

Se fico com 20 no fim e para isso tive que somar 8... Então antes tinha 12 porque 12 + 8 = 20.

Assim, ? x 2 = 12

Ora, qual é o número que multiplicado por 2 dá 12? O 6.

Já temos um resultado, temos que verificar se está correcto. O nosso problema dizia:

"Pensei num número. Multipliquei-o por 2 e ao produto adicionei 8, obtendo 20. Em que número pensei?"

Então, pensei no 6.

Multipliquei-o por 2. (obtive 12).

Ao produto (12) adicionei 8 e obtive 20. CERTOOOOOO!!!!

Queres tentar tu agora?

" Pensei num número, adicionei 10 ao seu dobro e obtive 30. Em que número pensei?

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Bibliografia:

Problem Solvin (2010): Acedido em 7 de Outubro de 2010.

Problemas matemáticos: caracterização, importância e estratégias de resolução (2002): Acedido em 7 de Outubro de 2010.

Problema 3 de 2010 - A consola

O Martin quer comprar uma consola nova que está em promoção - custa 65€.

Ele começou a juntar dinheiro.

No início tinha dois euros. No fim da primeira semana tinha 4 €, no fim da segunda 8€ e 16 € no fim da terceira semana.

O Martin vai poder comprar a playstation ao fim de quantas semanas?

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Este tipo de Problema pode ser resolvido recorrendo à elaboração de uma sequência.

Repara que ele dobra o dinheiro em cada uma das semanas: 2 x 2 = 4 x 2 = 8...

Semana a semana ele ia juntando:

- Quando começou: 2€

- 1ª semana: 4 €

- 2ª: 8€

- 3ª: 16€

- 4ª: 32€

- 5ª: 64 €

-6ª: 128 €

Ou seja, algures entre a 5ª e a 6ª semana, ele vai conseguir comprar o que pretende.

(Parabéns à Carolina e à Beatriz, à Cristina e à outra Beatriz e aos anónimos que conseguiram resolver este problema. Era fácil, não era?)

Problema 2 de 2010 - O número 100

O Martim conhece dois números inteiros que lhe permitem obter 100 quando soma:

- a sua soma,

- a sua diferença,

- o seu produto.

Que números são esses?

(Explicação: imagina que tinhas o 21 e o 3 -

Soma: 21+3= 24;
Subtracção: 21-3=18;
Multiplicação: 21 x 3 = 63

Somando os resultados - 24 + 18 + 63 = 105

Isso... passou por pouco... agora é contigo...

Problema retirado de Berloquin, Pierre (1991); 100 jogos numéricos, Gradiva - Lisboa

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A melhor maneira de resolver este tipo de problemas será começando por tentar com vários números. Repara que temos de calcular 3 operações (multiplicação, adição e subtracção) cuja adição dá 100 - poderias, por exemplo, perguntar quais são os dois números que multiplicados, dão 100:

- 2 x 50, 10 x 10, 20 x 5, 25 x 4.

Mas, estes números só por si dariam para chegar a 100 e ainda temos a adição e a subtracção. Logo, temos que encontrar soluções um pouco abaixo destas...

Vamos pegar no 25 x 4; vamos para o 24 e o 3...

24 x 3 = 72; 24 +3 = 27; 24-3 = 21. Total: 72 + 27 + 21 = 125

Tem que ser mais pequeno ainda

23 x 3 = 69; 23-3=20; 23 +3= 26... Total: 69 + 20 + 26=115

Continuando a experimentar podíamos chegar a várias soluções:

- 20 e o 3: 20 x 3= 60; 20-3= 17; 20+3 = 23 Total: 60 + 17+23=100

- 25, 2: 25 x 2 = 50; 25-2=23; 25+2= 27. Total 50 + 23 + 27=100

- 10, 8= 10 x 8= 80; 10-8=2; 10+8=18; Total 80 +2 + 18= 100

Dentro do Nosso UNIVERSO de trabalho ( números inteiros não negativos) são estas as soluções possíveis, sendo que haveria outros, com outras condições, claro.

Problema 1 de 2010 - A pirâmide mágica

O Jeremias brinca com uma pirâmide mágica, em que as posições a verde são preenchidas sempre que ele coloca um número inteiro qualquer na posição a vermelho, como mostram as figuras ao lado.

Pergunta 1 - Que números deve o Jeremias inserir na posição a vermelho, para que no topo surjam o 84 e o 44?
Pergunta 2 - Descobre como se podem escrever os números que aparecem no topo e usa essa conclusão para explicar por que razão esse número nunca é o 48.

Problema retirado do Projecto Desafios de Zéfiro.

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Este problema pretendia envolver os alunos no trabalho com as adições. E para começar é necessário entender que podemos procurar resolver este problema de diferentes modos:

- Procurar perceber como aparece cada uma das bolinhas;

- Por tentativa e erro.

Ao olhar para a pirâmide podemos ver que na sua base vamos acrescentar sempre 1 (3 - 4 - 5 - 6). Depois, os números de cima são o resultado da adição dos dois de baixo... 3 +4 = 7; 4+5=9; 5 +6= 11... ( a 2ª fila é 7, 9, 11)...

Assim poderíamos substituir o 3 por 4 na casa inicial e teríamos

Na fila de baixo - 4, 5, 6, 7

Na 2ª: 9 , 11, 13

Na 3ª: 20, 24

E no topo o 44...

Uma outra forma de ver este problema: a bola do topo é sempre igual a (8 vezes a casa inicial + 12).

Assim, para ter o 84 no topo teremos que ter o 9 na casa de partida.