Uma cerca no jardim (Problema 11 - 07/08)

Há dois meses, a cadela do Miguel teve cachorros.

O pai do Miguel está a construir uma cerca, quadrada, para que os cachorros possam apanhar sol e brincar, sem estragar o jardim.
Para isso, comprou estacas no valor de 250 euros, mas só conseguiu completar três lados do quadrado e, portanto, precisa de comprar mais estacas.

Sabendo que cada estaca custa 10 euros e que todos os lados da cerca levam o mesmo número de estacas, quanto mais precisa gastar o pai do Miguel para completar a obra?

Para resolver este problema talvez seja melhor seguir o esquema que temos usado nas aulas: dados, resolução e cálculos auxiliares.

Depois sugiro uma visita a um site com mais problemas.

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Olá,
o problema desta semana apresentou uma dificuldade acrescida, ainda para mais com a possibilidade de ser entendido de duas maneiras. Vamos à explicação:

- Se o Pai gastou 250 € é porque comprou 25 estacas, uma vez que cada estaca custa 10€.
Sabemos também que com as 25 estacas só conseguiu terminar 3 partes da cerca, ou seja, usou 25: 3= 8,3.

E aqui é que está o detalhe que pode levar a duas respostas diferentes e que poderei considerar, a da Cláudia e do Pedro, parcialmente correcta e da Cristiana totalmente correcta.
No texto diz: " só conseguiu completar três lados do quadrado".

O Pedro entendeu que seria necessário ter 8,3 estacas em cada, logo teria que comprar 9...
Gastaria 90 euros ( 9 x 10€). O Pedro e a Cláudia esqueceram um detalhe... Sendo um quadrado e não havendo " terços de estacas", teria que ter 9 em cada lado (4 x 9 = 36)... Ou seja, como tinha 25 teria que comprar mais 11, o que daria uma despesa de 110 euros.

A Cristiana e bem entendeu que o Pai tinha utilizado 24 e que havia sobrado uma... Em lado nenhum dizia que ele teria usado todas as estacas.
Assim, 24 : 3 = 8... Como tinha sobrado uma, faltam 7 ( 7 x 10€ = 70).

Parabéns a todos.
JP

Problema 10 (2007/08): Quadrados Mágicos

Os quadrados mágicos são quadrados de números tais que a soma é a mesma quer se calcule segundo uma linha, segundo uma coluna ou segundo uma diagonal. Neste exemplo, podes verificar que todas as somas são iguais a 15:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

Queres experimentar tu? Resolve este quadrado mágico:

11	a	9
b	8	c
d	e	5

Podes saber mais sobre Quadrados Mágicos visitando estes endereços:

- Um bom site para começar;
- Quadrados Mágicos na Wikipedia;
- Página para experimentar muitos quadrados mágicos;

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Esta semana foram muitos os participantes e quase todos acertaram em cheio:
- Diogo, Mafalda, Olga, Joana, Claúdia, Pedro, Ricardo, Andreia, Eduardo, Paulo e Cristiana.

Os números para completar o quadrado mágico eram:
a) 4
b) 6
c) 10
d) 7
e) 12

Problema 9 (2007/08): Canibais e missionários

Numa pequena ilha do Pacífico Sul, três missionários e três canibais estão encalhados, numa ilha, com apenas um pequeno barco para chegar a terra firme.
Ao planificarem o transporte para terra, os missionários sabem que não podem confiar nos canibais.
Por isso, para se salvaguardarem, estabelecem a regra de que os missionários nunca devem estar em menor número do que os canibais, nem na ilha, nem em terra, nem durante o transporte.
Como devem então fazer para que todos consigam chegar... inteiros a terra firme ... Se quiseres podes sempre ver esta animação e tentar jogar até resolver o problema: paciência é o que se pede!

Nota: neste endereço podes tentar resolver um problema parecido... um pato, uma raposa e um saco de milho...

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Desta vez o Pedro e a Cristiana, ambos do 5º B, voltaram a estar no caminho certo! Parabéns.

Problema 8 (2007/08): apanhar Maçãs

O Avô do João pediu-lhe para ele ir apanhar maçãs.

No caminho de regresso, o João foi assaltado. Roubaram-lhe metade das maçãs que trazia, mais uma.

Azarado como era, ainda foi assaltado mais duas vezes. De cada vez tiraram-lhe metade, mais uma.

Chegou a casa com uma maçã.

Quantas maçãs é que ele apanhou?

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Solução:
Este problema poderá ser resolvido ao contrário.
Vamos lá então:
1) Se no fim ele tinha 1 maçã, então antes de ser roubado tinha 4. Porquê? Vamos imaginar: ele tinha 4 maçãs. Roubaram-lhe metade mais uma.
Metade de 4? Certo: 2. 2 + 1 = 3
Logo, 4-3 = 1

2) Seguindo o mesmo raciocínio,
- para ficar com 4 maçãs, teria que ter 10 antes de ser roubado.
- para ter 10, teria que ter 22 antes de ser roubado.

Desta vez o Ricardo e a Cristiana (outra vez!!!!) acertaram!
(Reconheço que este não era fácil!)

Problema 7 (2007/08): Pesar moedas

O Renato tinha 3 moedas e uma delas era falsa.
Ele queria, usando a balança de pratos, numa pesagem apenas, descobrir qual a moeda falsa sabendo que é mais pesada do que as outras.
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Desta vez a Cristiana (5ºB) acertou! Se temos 3 moedas, basta pegar em duas e colocar em cada um dos pratos. Depois, se:
- ficarem equilibrados, a falsa é a que está fora.
- se ficar desiquilibrado, a moeda falsa está no prato mais baixo.

Problema 6 (2007/08): Vamos procurar a ratoeira?

Podes saber mais sobre Einstein na Wikipedia

Desta vez a nossa proposta, não é uma proposta. São 4!
Todas exigem alguma atenção aos truques que cada pergunta tem.
Vamos lá ver se consegues:

1) A semana passada desliguei a luz do meu quarto e consegui ir para a cama antes de o quarto ficar escuro. Se a cama estava longe do interruptor, como foi que consegui?

2) Que palavra termina em la, tem es no início e um co no meio?

3) Um dos brincos da Andreia caiu no café. A chávena estava cheia, mas o brinco não se molhou. Porquê?

E uma extra para baralhar ainda mais:

4) A minha tia costuma vir visitar-me, mas sai sempre do elevador cinco andares antes e vem a pé até ao meu apartamento. Porquê?

O novo 5ºB (Problema 5, 2007/08)

Na escola de Argoncilhe de cima, o 5º B é uma turma com número de raparigas igual ao número de rapazes.

Num dia em que ninguém faltou, oito das raparigas foram jogar basket, ficando na sala duas vezes mais rapazes do que raparigas.

Qual é o número total de alunos que há na turma?

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Solução:

Se sairam 8 raparigas e ficaram na sala duas vezes mais rapazes do que raparigas, então, sairam metade das raparigas.

Logo, há 16 raparigas na turma e, portanto, o total de alunos de 16 raparigas + 16 rapazes, ou seja, 32.

O Diogo e o Paulo, do 5ºB, são os vencedores desta semana. No entanto, todos os outros estão também de parabéns por terem tentado. Vamos ao próximo?

Problema 4 (2007/08): a escolha certa

Qual das caixas (1ª, 2ª, 3ª ou 4ª) poderia ser construída a partir da planificação anterior?

Justifica a tua resposta.

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Desta vez, quase me apetecia usar a expressão que a Andreia colocou na sua resposta: "eu montei e recortei e deu-me a 2ª planificação."

Uma observação mais atenta permite perceber que o topo com os quadrados está do lado aposto às partes laterais mais escuras. Só por esta informação, resta apenas a 2ª.

Foram muitos os matemáticos desta semana:

- do 5ºA: Sofia, Renato, Andreia, Ana Cristina, Ana Rita e Eduarda;

- do 5º B: Bruno, Paulo, Ricardo, Claúdia, Andreia, Jéssica, Daniela, Pedro, Rafaela, Jéssica, Cristiana, Diogo, Mafalda e Joana;

E ainda a Ana do 6ºE.

Problema 3 (2007/08): A corrida

Na última prova do Campeonato do Mundo de atletismo correram 4 atletas.

O Carlos chegou imediatamente atrás do Bruno e o David chegou entre o António e o Carlos.

Será que consegues dizer qual foi a ordem de chegada?

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Olá,

Boa tarde.

O problema desta semana era parecido com o anterior e para o resolver era necessário estar com muita atenção ao texto:

- "O Carlos chegou imediatamente atrás do Bruno". Logo, ficamos a saber que o C chega depois de B;

- "David chegou entre o António e o Carlos", ou seja, CDA..

Juntando as duas informações: BCDA.

Problema 2 2007/08: Quem toca o quê?

Na escola, três alunos do 5º B, Rafaela, Gil e Paulo, tocam diferentes instrumentos musicais.

Os instrumentos são 3: piano, flauta e guitarra.

A Rafaela ensaia no mesmo dia que o colega pianista (6ª feira).
Quem toca flauta, ensaia sozinho à 5ª feira.

O Gil não toca flauta.

Quem toca o quê?

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Solução:

Estamos no bom caminho- desta vez houve muitos alunos a responder bem:

- do 5ºA: a Rita e a Andreia

- do 5ºB: o Bruno, a Andreia, a Cláudia, o André, a Joana, o Paulo, o Ricardo, o Pedro, o JP, o Gil e a Rafaela. O Vitor... quase. :)

Para resolver este problema, poderíamos, por exemplo recorrer a uma tabela para ir procurando "arrumar" as informações que cada frase nos dá:

1) Temos 3 instrumentos para 3 alunos:

2) A 1ª frase - A Rafaela ensaia no mesmo dia que o colega pianista (6ª feira) - ou seja, a Rafaela não pode ser pianista porque ensaia no mesmo dia que o Pianista. (corta-se a opção pianista para a Rafaela na tabela.

3) A 2ª frase - Quem toca flauta, ensaia sozinho à 5ª feira. - Com esta frase podemos ter duas informações: a Rafaela não toca flauta (porque ensaia à 6ª feira), logo só pode tocar guitarra.

4) A 3ª frase - O Gil não toca flauta. - Se o Gil não toca flauta (e uma vez que a Daniela toca guitarra, só pode tocar Piano. Sobra a Flauta para o Paulo.

Problema 1 de 2007/08: O que custa distracção?

O professor de Matemática do 5º A pediu aos seus alunos para abrirem o livro numa certa página.
O João, que estava a conversar com o Renato, não ouviu o que o professor disse e perguntou à Eduarda qual era o número da página.
Ela, irritada por ele não estar atento, resolveu dizer-lhe desta forma:
Se multiplicares os números das páginas em que o meu livro está aberto, o produto é 210.
Agora descobre tu e não estejas na conversa!

Ajuda o João a descobrir os números das páginas em que o livro está aberto.

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SOLUÇÃO:

O Patric, o Paulo (5ºB) e a Cristiana (5ºB) responderam bem a este problema.

O João e a Andreia do 5ºA responderam também.

O "segredo" para resolver este problema era tentar encontrar dois números que multiplicados um pelo outro, o resultado fosse 210. Mas (há sempre eu mas!) os dois números tinham que ser seguidos porque estamos a falar de páginas de um livro.

A solução seria 14 x 15 = 210.

Problema 11 de 2007: A fila de Gatos!

Este problema, foi o 5º do Campeonato de Matemática Sub-12 da Universidade do Algarve:

Cinco gatos estão sentados em fila sobre um muro.
Entre o Fofinho e o Bichano está um gato.

Entre o Bichano e o Malhado estão dois gatos.

Entre o Tareco e o Malhado está um gato.

Entre o Fofinho e o Reguila estão dois gatos.

Como estão os gatos dispostos na fila?

Partir o bolo

Será que consegues partir um bolo em 8 partes, apenas com 3 cortes?

Solução: Desta vez vou colocar o texto que um aluno - o Patrick, do 6ºE, escreveu como resposta:

"Patric disse...
oi stor!a resposta acho que é esta:cortar o bolo em cruz, (já são dois cortes) e depois cortá.lo horizontalmente de lado, como se fosse para rechear(terceiro corte).e fica o bolo cortado em 8 partes so com 3 cortes!Patric "

Adivinhar o número

Um bocadinho à margem deste espaço deixo uma sugestão de visita: dá para ficar a pensar ...
http://pinhalmat.no.sapo.pt/desafios/d13.htm

Problema 9: O Quadrado 15

Desta vez, a sugestão foi da Ana e da Daniela (ambas alunas do 6ºC).

È um problema tradicional, mas muito interessante.

9 quadrados e 9 números - 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

As adições das linhas, das colunas, bem como das duas diagonais dão sempre 15.

Será que consegues?

O que custa a Distracção* (Problema 8 de 2007

O professor de Matemática do 6º C pediu aos seus alunos para abrirem o livro numa certa página.
O Belmiro, que estava a conversar com a Vanessa, não ouviu o que o professor disse e perguntou à Ana qual era o número da página. Ela, irritada por ele não estar atento, resolveu dizer-lhe desta forma:
Se multiplicares os números das páginas em que o meu livro está aberto, o produto é 210. Agora descobre tu e não estejas na conversa!
Ajuda o Belmiro a descobrir os números das páginas em que o livro está aberto.

Solução: Primeiro elemento informativo que temos no texto: " os números das páginas em que o meu livro está aberto". Para estar aberto, significa que as duas páginas são seguidas.
Se o produto é 210, então significa que terá que estar envolvido um múltiplo de 5.
Vamos então ver as hipótes:

4 x 5 = 20
10 x 11= 110

14 x 15= 210

Fiquem bem e façam boas leituras!

*este problema foi o primeiro do Campeonato Nacional sub-12 2007

Tão Fácil: ABC (Problema 6 de 2007) e um extra (Problema 7)

Como estamos quase no Carnaval resolvi colocar dois problemas, ambos envolvendo letras:


1) Encontra os números A, B e C, de modo a que:





















2) Qual é o próximo número desta sequência ?

2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,...

Soluções:

Desta vez houve muita gente a acertar. Parabéns!

1) Como disseram a Sabrina e a Vanessa, a Roberta e o Tiago -

A=1, o B=4 e o C=8.

Pois 148+148+148 é igual a 444, que corresponde a ABC+ABC+ABC=BBB.

2) A segunda resposta... era só procurar o próximo número que tivesse o D como letra inicial - o 200.

2 (dois), 10 (dez), 12 (doze), 16 (dezasseis) , 17 (dezassete), 18 (dezoito), 19 (dezanove),... 200 (DUZENTOS)

Qual era a divisão (Problema 5 - 2007)

O resultado de uma divisão de um número de dois dígitos (algarismos) por um número de dois dígitos foi obtido com uma calculadora:

0, 4482759

Quais eram os dois números?

A mehlor maneira de tentar resolver este tipo de problemas é mesmo pegar na máquina de calcular e ir por tentativa e erro.

As soluções seriam:

- 13: 29;

- 26: 58;

- 39: 87.

O controlador aéreo - Problema 4 (2007)

Os ingleses gostam muito de vir passar férias a Portugal e a Espanha.
Com o aumento do número de aviões que fazem as viagens de Inglaterra para a Península Ibérica.
As companhias aéreas queriam que desde os aeroportos A, B e C saissem voos directos para cada um dos aeroportos 1, 2, 3, mas sem se cruzarem para evitar acidentes.
Será que consegues encontrar 9 rotas que liguem cada um dos aeroportos ingleses a cada um dos portugueses e espanhóis, sem que qualquer rota se cruze?

Desta vez o problema não tem solução.

Logo que se sejam traçadas as rotas dos aeroportos A e B, logo o C fica sem qualquer possibilidade de estabelecer rotas directas para 1 ou para o 2 ou para o 3. Só poderia traçar 8 rotas e nunca as nove.

Aniversário (problema 3 de 2007)

Quantos aniversários, celebra em média, uma pessoa durante a sua vida?

Solução: este é claramente o mais simples dos problemas apresentados até hoje.

Em média, cada pessoa festeja um aniversário por ano! :)

No meio (Problema 2 de 2007)

O quadrado mais pequeno (vermelho) tem um metro de lado.

O quadrado maior (azul) tem dois metros de lado.

O vértice do quadro azul está exactamente no centro do quadrado vermelho.

Qual é a área da parte comum aos dois quadrados?

Resposta: Neste problema, temos dados que estão em excesso, nomeadamente as medidas sobre o quadrado azul, o que poderia criar alguma confusão.

De qualquer modo, calculando a área do vermelho e pensando que esta tem 1/4 a coincidir com o azul, temos a resposta:

A = l x l = 1m x 1m = 1m2; Temos então que há 0,25 m2 comuns entre as duas figuras.

Quantos triângulos há aqui? ( Nº1 de 2007)

É um problema semelhante a um outro já resolvido...

Uns pequenos, outros grandes e alguns nem por isso... Concentração é a palavra chave.









Solução: Se repararem o Pentágono está cortado em 11 casas. Para melhor efectuar a contagem, vamos agrupar os triângulos em função no nº de casas que ocupam:

- 1 casa: 10
- 2 casas: 10
- 3 casas: 10
- 4 casas: 5

Ora, como dizia o outro é só fazer contas.... 35 é o número que se procurava! E parece que desta vez ninguém acertou!
JP

Ano novo, problemas novos!

A experiência iniciada no 1º período foi muito positiva, nomeadamente porque muitos alunos resolveram perder um bocadinho do seu tempo livre para tentarem resolver os problemas que aqui fui colocando.

O Patrick (6ºE) e a Vanessa (6ºC) foram os alunos que mais vezes passaram por aqui, mas creio que o destaque deve ir para todos os alunos. Vamos continuar?